一、引言

在数学知识体系中，“数”与“形”如同鸟之双翼、车之两轮，相辅相成。“数与形结合”思想贯穿数学学习全程，在反比例函数与圆的综合题求解中更是发挥着关键作用。此类综合题融合代数与几何知识，抽象性和综合性强，学生常感棘手。而“数与形结合”思想能将抽象的数学语言与直观的图形相互转化，化繁为简、化难为易，帮助学生理清解题思路，提升解题效率。因此，深入研究该思想在此类综合题中的应用，对数学教学与学生学习意义重大。

二、“数与形结合”思想的内涵与重要性

2.1内涵阐述

“数与形结合”思想包含“以形助数”和“以数解形”两个维度。“以形助数”是借助图形的直观性，将抽象的代数问题可视化。在反比例函数中，通过绘制函数图象，能直观呈现函数的增减性、对称性、渐近线等性质，帮助学生理解函数变化规律。“以数解形”则是运用代数方法，如方程、坐标等，对几何图形进行量化分析。在圆的问题中，利用代数工具可精确计算圆的半径、圆心坐标、弦长等几何量，实现对图形的精准研究。

2.2重要性分析

在反比例函数与圆的综合题中，“数与形结合”思想不可或缺。其一，助力理解抽象概念。反比例函数表达式形式简洁但抽象，其图象能直观展现函数特征；圆的几何性质通过图形易于理解，但其相关计算需代数方法支撑。二者结合能让学生透彻理解反比例函数与圆的本质。其二，提升解题能力。综合题知识点多、难度大，“数与形结合”能拓宽学生解题视角，从代数和几何两个层面寻找解题思路，进而发现简便方法。其三，培养数学思维。该思想的运用有助于发展学生的逻辑推理和空间想象能力，为后续学习高等数学筑牢思维基础。

三、“数与形结合”思想在反比例函数与圆综合题中的应用案例分析

3.1借助图形直观解决交点问题

案例1：已知反比例函数y=(k≠0)的图象与圆x²+y²=25在第四象限有交点M，点M的横坐标为3，求反比例函数的解析式。

分析：先根据圆的方程x²+y²=25，将x=3代入，可得32+y²=25，即y²=16，解得y=4。因为交点M在第四象限，所以y=-4，则点M的坐标为(3,-4)。再把点M(3,-4)代入反比例函数y=，可得-4=，解得k=-12，所以反比例函数的解析式为y=-。此案例中，借助圆的方程这一“数”，结合点所在象限的图形位置信息（“形”），精准确定交点坐标，进而求出反比例函数解析式，体现“以形助数”在解决交点问题中的应用。

3.2利用函数性质分析圆的几何量

案例2：如图，点N是反比例函数y=(x>0)图象上一点，以N为圆心，NO为半径作圆，该圆与x轴相交于C、D两点，且CND=120°，求CD的长。

分析：设点N的坐标为(a,b)，因为点N在反比例函数y=(x>0)上，所以ab=12。过点N作NEx轴于点E，由于CND=120°，且NC=ND=NO（圆的半径），则CNE=CND=60°。在Rt△CNE中，cosCNE=，sinCNE=。因为NE=b，NC=，所以CE=NC·cos60°=。又因为ab=12，b=，则NC=，CD=2CE=。将b=代入化简可得CD=4。此例借助反比例函数点的坐标性质（“数”），结合圆的几何性质（“形”），通过建立等式关系，求出圆中弦CD的长度，展现“数与形结合”在解决圆几何量问题的优势。

3.3综合运用解决复杂问题

案例3：已知反比例函数y=-的图象与圆x²+y²=r²(r>0)相交于P、Q两点，且△POQ是等腰直角三角形（O为坐标原点），求圆的半径r以及△POQ的面积。

分析：因为△POQ是等腰直角三角形，所以POQ=90°，OP=OQ。设点P的坐标为(x₁,y₁)，点Q的坐标为(x₂,y₂)，联立反比例函数y=-与圆x²+y²=r²的方程，将y=-代入x²+y²=r²，得到x2+(-)²=r²，即x⁴-r²x²+36=0。由韦达定理可知+=r²，=36。因为OP=OQ，根据两点间距离公式OP==，OQ==，且POQ=90°，所以OP²+OQ²=PQ²。又因为OP=OQ，则2OP²=PQ²。根据弦长公式PQ=，将y=-代入化简可得PQ==。由=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，结合前面韦达定理的式子，经过一系列计算可得r=2。此时OP=OQ=，根据三角形面积公式可得S△POQ=××=6。该案例综合运用反比例函数与圆的方程（“数”），结合等腰直角三角形的几何性质（“形”），通过复杂的计算与推理，求出圆的半径和三角形面积，体现“数与形结合”思想在解决复杂综合问题中的强大作用。

四、“数与形结合”思想在应用中的难点与挑战

在反比例函数与圆综合题中运用“数与形结合”思想，学生面临诸多障碍。其一，“数”与“形”转化困难。学生难以依据函数表达式准确绘制图象，或无法从函数代数性质联想到图形特征。如对于反比例函数y=，当k正负变化时，不能快速把握图象在不同象限的分布及单调性变化。同时，从圆的图形到代数方程的转化也存在问题，学生常不能准确将图形中的线段、角度等几何量转化为代数关系。其二，知识整合能力欠缺。综合题知识点融合度高，学生在梳理“数”与“形”信息，构建两者联系时容易混乱，导致解题思路中断。

五、教学建议

为帮助学生克服应用难点，教师可从以下方面改进教学。首先，夯实基础知识教学。强化反比例函数与圆的性质、表达式、图形特征等知识讲解，通过对比、归纳等方式，加深学生理解，为“数与形结合”应用奠基。其次，加强画图与识图训练。增加函数图象绘制练习，引导学生观察图象与函数性质的关联；通过圆的图形分析，培养学生从图形中提取代数信息的能力。再者，优化例题讲解方式。在讲解综合题时，详细展示从题目条件出发，如何实现“数”与“形”的相互转化，逐步推导解题过程，帮助学生掌握解题思路。最后，注重练习与总结。设计梯度练习，让学生在实践中巩固应用该思想；鼓励学生总结解题经验，反思“数”与“形”结合的切入点和方法，提升解题能力与思维水平。

六、结论与展望

“数与形结合”思想在反比例函数与圆综合题中应用价值显著，通过多种类型案例可见，其能有效帮助学生解决复杂问题，提升解题能力。未来，数学教育应持续深化对“数与形结合”思想的研究与实践，创新教学模式，进一步培养学生数学核心素养，助力学生更好地应对数学学习中的各类挑战，为数学学习和未来发展提供有力保障。

参考文献

[1]冯慧丽.人教版初中数学数形结合思想教学策略研究[J].甘肃教育研究,2024,(19):63-65.

[2]产丽凤,程春.浅谈高等数学中巧用“数形结合”的几个实例[J].科技风,2024,(16):97-99.

[3]冉红芬.“四点突破”理念在初中数学数形结合教学中的应用——以《反比例函数的几何意义》教学设计为例[J].黔南民族师范学院学报,2017,37(04):120-124.