一、本质内涵

尺规作图起源于古希腊的一个古老的研究课题，是指使用无刻度的直尺和圆规，通过有限次的操作，绘制出精确的平面几何图形，从而解决相关问题。直尺，既直又长；圆规，腿长而且开闭灵活。它们有定线、做圆、求交点三种功能。^[1]借助“尺规作图”可以引导学生突破值观经验的局限，实现数学严谨性与创新思维的协同发展。同时动态的作图过程有效架设了具象操作与抽象思维之间的认知桥梁，符合建构主义学习观中“操作—表象—符号”的认知进阶路径。此外，通过作图还可以培养学生动手操作能力、空间想象能力，学会用数学的语言表达现实世界，为初中进一步学习“尺规作图”打下坚实基础。

美国应用数学家M·克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度。”简单来说，尺规作图不仅仅是一项技能，更是学生理解数学和解决问题的得力助手。

二、课程内容

（一）内容要求

在《新课标》中明确指出：

1.在第二学段（3-4年级）中，学生要在认识线段的基础上，会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。2.在第三学段中还要求学生掌握“给定线段，利用尺规画三角形，并感悟三角形的三边关系”。^[2]

（二）教学提示

在几何作图教学中，教师通过组织学生运用传统尺规工具复现已知线段的几何构造过程，引导其理解线段作为几何量度的本质属性，并建立几何图形中点集间距与线段度量之间的数学对应关系。这种直观操作与抽象思维相结合的教学策略，有助于学习者通过建构式活动形成对空间距离概念的本质性认知。在具体教学中，教师首先应基于学生对线段的认识，以此为突破口，鼓励学生思考如何不用有刻度的小尺作出等长线段。如已知线段a，求作：线段AB，使得AB=a，方法如下：①作射线AP。②利用圆规确定给定线段的长度。③以A为顶点，圆规两脚间距离画弧线，与射线AP交于B点，线段AB即为所求。

在平面几何测量教学中，学生探索多边形封闭边界总长的数学概念时，教师可设计操作性学习活动：指导学习者运用尺规作图法对三角形实施几何分解，通过平移变换将各边依次首尾衔接于基准直线，完成多边形边的共线化转化。具体的方法如下:①作射线AP。②利用圆规依次量取三角形ABC三边长并首尾相接画弧。③与直线的交点分别记为B、C、A’（A）。这个过程就是将原本封闭的三角形周长转化为一条线段的长度，有助于学生更好的理解线段的可加性与掌握三角形周长的计算方法。而对于“用尺规作等边三角形”这个问题时，在不使用尺规作图的情况下，学生只能使用有刻度的小尺画三条相等线段并将其拼凑为三角形，或用量角器凑三个角度为60°的三角形，但实际操作时，在确定两边后，连接两端点的线段并不能确保等于等边三角形的边长，这就无法做出符合要求的等边三角形。当学生掌握尺规作图这个方法后，学生可进行以下操作画出一个等边三角形：①作线段BC长度为a，先以B为圆心，a为半径画弧。②再以C为圆心，a为半径画弧。③取两个弧线交点为A，即等边三角形ABC。在学习等边三角形的基础上，教师可以进一步引发学生思考，构成一般三角形的条件是什么？如何用尺规作图的方法验证这个条件呢？

综上所述，这种基于几何变换思想的可视化操作，不仅使抽象周长概念具象化为可测线性量值，更促使学生在空间转换过程中建构起“图形闭合路径总长”与“线性量度累加”之间的数学等价关系。图形的认识教学还可以从特殊三角形入手，通过直观操作，引导学生归纳出三角形的内角和，增强几何直观。

三、价值意蕴

（一）培养学生动手实践能力

在解决数学问题时，学生常会遇到需要将数字问题转化为图形问题，这往往需要学生自己动手操作，通过折纸、度量、拼凑、作图等方法进行几何操作，这具有不可替代性。在新课标中强调要会用数学的语言表达现实世界，因此，在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图理应得到足够的重视。学生不受限于理论知识的学习，而是在运用无刻度尺和圆规的过程中，进一步将数学理论知识与实践运用有机结合，从而更充分的理解数学知识。

（二）培养学生几何直观的学科核心素养

每一种学科核心素养的具体表现都不是空中楼阁，都需要我们把它化作日常的教学内容和日常教学的学业的要求。只有这样，才能在普通的课堂里慢慢的培养出我们所希望培养的素养。^[3]而“尺规作图”则体现在其对几何直观素养培养的价值所在。学生在遇到作图题时，往往脑中都能有些自己独特的想法，但学生能否用数学的语言表达出来，将数学图形之间的关系直接表达出来是《图形与几何》教学中的核心问题。数学家阿蒂亚说过: “在几何中，视觉思维占主导地位。”解决几何问题的重点是运用数学思维进行思考，即通过图形进行想象，而借助于尺规作图，可使学生进行直观化的学习。学生在学习的过程中，能够把握尺规作图的本质，通过尺规作图的方式降低学习难度，实现了用直观图形表示数学问题的抽象模型，体现了数形结合的思想。^[4]

（三）感受数学的严谨性

小学数学中所接触的《图形与几何》大部分是直观几何，而直观几何是具有描述性的。^[5]如在根据给定线段作等长线段时，学生往往先用有刻度的小尺量出给定线段的长，再画一条与其相等的线段，不可否认在量取的过程中会有一定的误差。同样，在根据已知三条线段长来组成三角形时，在操作过程中，学生会发现很难找到符合要求的第三个顶点，这也是因为在找点的过程中误差所致。由尺规作图除了解决了画三角形的问题，还证明了三角形的三边关系。因此，在小学阶段引入尺规作图十分必要。在日常学习数学的过程中，学生很难体会到数学推理的严谨性，而尺规作图则是一个很好的例子。

四、心理机制

（一）培养学生的操作技能

操作技能是指实现数学任务活动方式的动作主要是通过外部机体运动或操作去完成的技能。它是一种由各个局部动作按照一定的程序连贯而成的外部操作活动方式。操作技能的心理机制大致分为以下几个阶段。

1.了解作图步骤，掌握作图方法

教师通过对尺规作图的作用、步骤及方法的知识传授，在学生头脑中建立起尺规作图的定向映像。有助于学生理解尺规作图的相关知识，知道尺规作图的步骤以及尺规作图的结果。使学生在“做什么”和“如何做”中明确自己的学习目标，更好的理解与掌握作图方法。

2.模仿作图步骤，深化技能运用

学生在学习尺规作图的过程中，教师通过将作图步骤分解，学生根据教师的操作过程进行有意识模仿，接着将尺规作图的步骤整合起来形成一体化的操作系统。经历最初简单的用直尺和圆规做等长线段再到复杂的用尺规作三角形，由简单到复杂，层层深入。

3.加强理论实践，熟练操作技能

学生通过反复的练习，使作图过程无论在什么条件下都能完成顺利地完成。在遇到尺规作图问题时，能立刻联想到作图步骤，不再需要考虑作图步骤间的联系，直接将所需图形表达出来。

（二）培养学生的心智技能

心智技能是指顺利完成数学任务的心智活动的方式。它是一种借助于内部言语进行的认知活动，包括感知、记忆、思维和想象等心理成分，并且以思维为其主要活动成分。心智技能的发展主要体现在以下几个方面。

1.了解作图原理，形成条件化知识

心智技能形成的关键是把所学到的知识与其应用的“触发”条件结合起来，形成条件化知识。在学生遇到需要用尺规作图来解决问题时，脑中能立刻萌生运用该知识的意识，明晰该知识在什么条件下适用。如学生头脑中储存以下提示性话语：不使用刻度尺作等长线段、不使用量角器作等边三角形等，能够明确题目隐含意思是用无刻度直尺和圆规的工具作图。

2. 内化作图方法，发展发散性思维

学生通过学习尺规作图的概念、方法步骤后，将原本物质化的客体向脑部转移，将作图方法内化为一种本能的反应。此外，学生还能在此基础上加以论证，如根据给定线段做出三角形，并推理验证三角形的三边关系。

五、培养策略研究

（一）手脑结合，实现操作与想象的嫁接

在几何构造活动中，尺规作图呈现的图形虽具有几何直观性，但支撑其构造过程的数学关系系统却展现出高度抽象性。不同认知主体在问题解决路径的选择、几何构造的次序安排等方面呈现出显著的个体差异性。这种具象化操作与形式化思维之间的辩证统一，恰恰是数学文化中理性探索与具身认知交互作用的具体表征。

例如在探究“三角形任意两边之差小于第三边”这一推论时，教师先组织学生通过折叠纸条的方式理解三边关系，但难以直观呈现边长的动态变化。在掌握坐标系绘制方法后，教师设置三组特殊线段：①线段m=8cm，n=5cm，p=3cm，满足m-n＜p＜m+n；②保持m=8cm不变，将n、p调整为6cm和2cm，使n-p恰好等于m；③仍取m=8cm，设n=7cm，p=1cm，此时n-p明显小于m。学生按统一流程作图：先在坐标系中固定端点M、N确定边MN=m，接着以M为圆心n为半径作圆，再以N为圆心p为半径作圆。结果显示仅第一组两圆存在有效交点P形成三角形，而第二组圆相切于一点无法构成封闭图形，第三组圆完全无交点。通过图形的精确呈现，学生自然理解并推导出“三角形任意两边之差必小于第三边”的几何规律。

（二）善用科技，实现理性与感性的碰撞

在引导学生使用尺规作图的方法时，学生通过自己动手操作过程中，可以利用现代AI技术以及几何模型的多媒体白板软件，将操作流程可视化，在二维平面中的数学知识三维化，这不仅能够让学生更加直观的了解操作流程，还可以加深学生对这些方法和知识的理解记忆，将原本抽象的数学知识符号转化为直观、具身参与的操作系统，帮助学生直观地理解数学，利用几何直观把复杂的数学问题变得简明形象，能很好地培养学生的空间观念、几何直观以及动手操作能力。^[6]在开展“基于尺规作图法的三角形构造”教学实践中，发现学生在确定底边后常遭遇两腰无法交会的几何困境。此现象可转化为对三角形顶点定位原理的深层思考：当以已知线段AB为底边时，如何通过几何作图确定顶点C的空间位置？比如在学习“用尺规作图法，用给定的三条线段画一个三角形”时，学生通过自己动手画图的过程中会发现，当确定一条边为底边时，另外两条边却出现了不相交的情况，这时就可以引出“如何确定三角形的第三个顶点”这一问题。，学生可逐步掌握“双圆定位法”的核心原理——分别以线段端点A、B为圆心，剩余两线段长度为半径作圆，两圆交点即为满足三边约束条件的点C。在学生经历不断画图中，可以促进学生将抽象的数学知识具体化，培养学生的几何直观思维。

（三）敢想敢做，实现猜想与推理的融合

问比学更重要，敢猜想敢提问比只学习只接受更重要，教师在教学生如何用直尺和圆规作图时，不能停留在表面上的如何做图，更应该重视其中的几何推理意义。教师应该鼓励学生提出操作中遇到的问题，或者教师应该提出学生可能遇到的问题，比如换一种方法可不可以？每种三角形是不是都满足“两边之和大于第三边”的定理呢？鼓励学生将疑问提出来，带着学生边推理边解决问题，做到学一点理解一点，学习知识不冗余，问题也能及时解决。比如学生通过思考将所想图形画出后，能否证明这样的作图方法是正确的，得出的结论是否合理。比如在学习“用尺规作图探索三角形三边关系”时，教师给出一些数据引导学生探究到底什么样的三边可以构成三角形。学生经历了想象、作图、思考、验证、说理的学习过程，通过“眼见为实”的具象实验操作到直观想象，再到有根有据的推理思考，学生对三角形三边的认识更加全面、清晰、深刻。^[6]

参考文献

[1] 张彩云,代钦.傅种孙几何作图思想探析——纪念傅种孙先生诞辰120周年[J].数学通报,2019,58(01):1-7+40.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2022 年版)[S]. 北京:北京师范大学出版社，2022.

[3] 唐彩斌,王罗那.小学数学增加“用直尺和圆规作图”的意义和策略[J].小学数学教育,2022(11):19-20.

[4] 郭瑞,郭淑萍.感悟尺规作图在新课标下“执果索因”的深层内涵[J].理科爱好者,2023(01):158-160.

[5] 位惠女.为什么要在小学增加“尺规作图”内容——马云鹏教授、吴正宪老师访谈录(八)[J].小学教学(数学版),2022(12):4-7.

[6] 苏教版小学数学教材编辑部.尺规作图在小学阶段到底教什么，怎么教.小学数学教育.[J]2022(10)