一.对数萌芽

早在古希腊时期的大数学家阿基米德（Archimedes,前287-前212）在“数沙者”（The Sand Reckoner）中就已指出等差数列与等比数列的对应关系：

已知等比数列A₁,A₂,A₃,…A_m,…A_n,…A_m+n-1,其中A₁=1，A₂=10

若任取任意两项相乘，则乘积仍为该数列中的一项，它距离A_n的项数等于A_m距离A₁的项数；它距离A₁的项数等于距离A₁的项数之和.用我们今天的眼光来看，阿基米德事实上给出了以下等比和等差数列的对应关系：

定理的结论是，用今天的解释就是

可以看出，乘积转化为加法有了雏形，但阿基米德止步于此.

到了16世纪，德国数学家斯蒂菲尔（Michael Stifel,1487-1567）1544年在纽伦堡出版了一本书《整数算术》，这本书第一次用到以任意有理数为指数的幂运算，并特别强调了乘法规则，他列出了2的-3到6的整数指数及幂，如下表：

表1  斯蒂菲尔的整数幂表

斯蒂菲尔提出了四条法则：

（1）算数级数（数列）中的加法对应几何级数（数列）中的乘法；

（2）算数级数（数列）中的减法对应几何级数（数列）中的除法；

（3）算数级数（数列）中的乘法对应几何级数（数列）中的乘方；

（4）算数级数（数列）中的除法对应几何级数（数列）中的开方.

可以说，斯蒂菲尔在一定意义上提出了第一份对数表，并且懂得这一发展的意义，他宣称，对这些奇异的数字关系可以写一本书.但是，要使对数真正可用于实际计算，斯蒂菲尔还缺少一个重要手段，那就是十进制小数，斯蒂菲尔的研究就此终止，因为直到1600年十进制小数才普遍使用.

可以看出，在对数发明之前，科学家们对指数及运算已有不同程度的认识.

二.对数的发明

1.纳皮尔的发明

看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题.

————纳皮尔（John Napier），《奇妙的对数定律说明书》

上面这段话道出了纳皮尔发明对数的初衷，下面讲讲纳皮尔的发明.

16世纪后期，欧洲天文学受到像第谷﹒布拉赫和约翰尼斯﹒开普勒这样目光敏锐的观察者的推动，需要越来越精确的计算来检验有关我们的行星系统及其更远处宇宙关系的多家相互竞争的理论，可以说这是一个数值计算的时代，尤其对复杂的三角计算提出了更高的要求.当时加减法则是运用在天文方面简化乘法运算的主要手段，比如人们熟知的公式（这组公式共有4个，有时被称作韦尔内公式）就是将乘积化为了和差，从而降级、简化运算.另外，前面我们己经看到，斯蒂菲尔等数学家己经注意到几何数列的项和算术数列的项之间的确定的对应关系，也是可以将乘积转化为和差的，但是，他们没有意识到找更稠密的几何数列的可能性.对于以上两种思想的清晰了解，使得纳皮尔受启发，从而有了17世纪的伟大发明——对数.

纳皮尔（1550-1617），1550年出生于苏格兰，是一个拥有土地的休闲绅士，大部分时间生活在爱丁堡附近的贵族庄园梅尔契斯顿堡，在16世纪90年代，纳皮尔对寻找庞大计算的简化方法产生了兴趣，最初的目标是将简化计算用于天文学家的正弦表，解决球面三角计算问题.在《论述对数的奇迹》以及遗作《作出对数的奇迹》中解释了他的想法，当时数学符号还未标准化，他几乎全用文字描述他的杰出见解.按照德国天文学家、数学家雷乔蒙塔努斯的办法，将圆的半径分为10⁷ 个单位，以圆弧的半弦作为正弦，以10⁷作为最大的数开始计算，让10⁷到0的正弦值表示在线段AZ上，设动点1自点A朝着Z运动，其速度正比于到Z的距离，同时，假定另一点2与A同时开始在另一条直线上A´L上匀速运动，速度与点A处速度相同，具体解释如下：

图1  对数的几何解释

设

严格说，动点1速度随距离连续变化，需要微积分才能真正表达，但若考察很短的时间t，并设AB , BC ,  CD,…都是在这个时间t内通过的，每段的速度都视为该段起点处速度，则有下列等式成立

再看动点2

推导完毕.可见纳皮尔的对数底应该是 .虽然我们知道纳皮尔当时的对数是没有“底”这个概念的.

现在再说回纳皮尔当时取值，取分别为1,2,3，…，也就是

，纳皮尔称L为N的对数.用x和y分别替换L和N，则得到纳皮尔对数式   实则

表2  纳皮尔级数表

纳皮尔设定圆的半径为10⁷，因为他手里的正弦表所给的数精确到了７位，我们今天看来，他试图提供的简化计算的正弦是近似于10⁷sint的整数，ｔ是以“分”为间隔的0°到90°之间的角．因为10⁷sin90°＝10⁷，10⁷sin1´=2909,所以我们推断出他的正弦是在2909和10⁷之间的整数.他选用的几何数列公比为0.9999999，接近于１的选择是非常高明的，因为它使得几何数列充分地稠密，以至于连续两项之间的差非常小.另外，当时的分数指数幂还不被理解，但纳皮尔靠几何上的直觉把指数的概念从整数扩展到连续的值（纳皮尔好像并没有把他的对数看做指数）.

不难看出，纳皮尔的对数不符合我们今天的对数加法、减法运算法则.

纳皮尔还总结出了如下运算法则：

就这样，纳皮尔花费了20年的时间研究简化运算的方法，终于在1614年发表了《奇妙的对数说明书》，书中纳皮尔求得了间每隔的所有角的正弦的对数，这标志着对数的发明.后来他的儿子罗伯特﹒纳皮尔整理了他的遗稿，叙述了对数表的制表原理，于1619年发表了《奇妙的对数表的构造》一书.  

纳皮尔对数学还做出了其它一些贡献，如发明了“纳皮尔标尺＂，制定了球面三角学计算的相似式，提议使用了小数点．．．．．．这些成就和对数的发明相比又不值一提.在1914年于爱丁堡举行的庆祝对数发明的活动中，莫尔顿领主致辞“对数的发明犹如黑夜一道闪电划破长空，没有任何预兆.它未曾借助其它已知的智慧结晶，也未曾沿袭现存的数学理念，那么突然、孤立而又出乎人们意料地出现了.”

对数的发明为大数运算的简化提供了便利，而对数发明之初和我们今天看到的样子有着很大的不同，这是经过数代科学家不断努力钻研的结果.

2.布里格斯与常用对数

布里格斯(Henry Briggs，1561-1631)，英国数学家，1596年成为伦敦克雷沙姆学院(Gresham College)几何教授，1619年以后是牛津大学天文学教授，他的主要贡献是改进了纳皮尔发明的对数运算.

1614年,纳皮尔在一本标题为《奇妙的对数定理说明书》的小册子中发表了他关于对数的讨论,这本书立即引起了布里格斯的关注，当时他正从事天文学研究，繁重的天文计算正是他试图克服的困难,布里格斯阅读了该书后,被这本对数著作深深地吸引了，并开始考虑对纳皮尔的对数进行改进.1615年3月10日,布里格斯在给朋友詹姆斯·乌歇尔(James Ussher)的信中这样写道:

纳皮尔爵士出版了一部著作，包含了他新发明的奇妙对数.我希望今夏与他见面，因为我从未见到过一本能让我如此快乐，令我如此惊奇的书.

1615年，布里格斯从伦敦出发,到爱丁堡去拜访纳皮尔，他在那儿待了一个月左右，与纳皮尔合作，改良体系中的一些难点.其中值得提及的是两个关键的变化.第一个是“起始点”的选择.两个人都意识到了修改定义的巨大优势，于是log(1)=0.结合上面提到的纳皮尔关于比例的结果，就可以很容易通过求和差计算出乘除.第二个就是布里格斯建议取10作为底数，使一个数的对数就等于该数的10的乘幂中的那个幂指数.

和以前一样，最困难的部分是计算实际的对数，这需要很长时间.布里格斯从计算(通过手工)10的平方根开始，如：

他开了53次方后，最后得到一个非常接近1的数字，其对数是

2^-54=0.00000 00000 00000 5551 11512 31257 82702 11815……

1至10之间的任意正数N的对数是这样计算的：以表中不超过N的最大数除N，假设除数是，商是,依同样方式处理，…，当与1的差只在小数点后第六位时，停止上述程序，于是

此程序被称作对数的根植法.就这样，布里格斯用一个乘积的对数是其因子的对数之和重建了体系.1624年，布里格斯出版了《对数算术》(Arithmetica logarithmica),包含了1-20000和90000-100000间所有整数的对数表，并精确到了14位数.在接下来的几年里，他一直在努力计算20000到90000间的数字，直到一个荷兰出版商补充了布里格斯的作品(并没有使用他的知识)，出版了完整的常用对数表，这个版本中的有效数字只精确到了10位数.

1914年，对数发明三百年之时，英国人开始计算精度为20位的新对数表，最终于1949年完成.以10为底的对数是唯一在所有实际计算中使用的对数，因此叫做常用对数，又叫布里格斯对数.

虽然现如今我们有了计算器、计算机，不再需要通过查表的方式计算对数、简化大数的运算，但这种乘法变加法、除法变减法的数学思想仍是非常值得学习和感悟的.

3.比尔吉的发明

约斯特.比尔吉(Jost Bürgi，1552-1632)，瑞士数学家、钟表制造师、天文学家，他和同时代的苏格兰数学家纳皮尔相互独立发明了对数.

比尔吉早年从事钟表和仪器修理的工作，1603年被任命为布拉格地方的宫廷钟表匠,担任著名的数学家、天文学家开普勒的助手,由于工作的需要,他要利用仪器结合观察的情况做天文计算，这就促使他产生要简化计算的思想.比尔吉称“考虑到算术级数和几何级数的性质和对应性:后者中的乘法是前者中的加法，后者而中的除法是前者中的减法，后者中的开方是前者中的减半.我发现拓广这些数表(使得所考虑的所有的数都可以被发现)是十分有用的，我们不仅可以避免乘、除、开方运算中的困难,更重要的是，我们也可以在两个已知数之间随意放置几何中项，任何有经验者皆知,没有这些数表,计算是多么困难”.

比尔吉花了8年的时间完成了他的著作《算术和几何级数表》(Arithmetic and Geometric Progression Tables)，书中比尔吉设计了一个基于通用数列表的方法，这本书附有58页的数表，精确到9位十进制数字.这些数列更适合运用于实际计算，有证据表明他的发明1588就已完成，但他的这一著作直到1620年才出版,那是在纳皮尔发表《奇妙的对数原理的说明书》后的6年.比尔吉的目标不仅在于简化计算，还要建立一个可用于所有算术运算的通用表.表中最左列和最上行用红色字，代表等差数列，也就是对数值，其余部分用黑色字，代表等比数列，也就是真数值，所有的数都四舍五入为整数.它们的关系如下：

比尔吉对数原表（部分）如下

图2  比尔吉对数表

比尔吉在书中举了26个例子来解释如何做乘、除、开方等各种计算.要计算乘法，比如100050010×100100045，查表得知它们对应的红色值分别是50和100，它们的和是150，再从表中找到150对应的黑色值100150105，即是它们的乘积.

那么，比尔吉是如何计算出对数表的呢？

与纳皮尔一样，比尔吉选取的底数也尽可能接近1，他选的是，也就是1.0001，从（y为整数）出发，现在按照比尔吉系统计算两个相邻指数y和y+1的幂，

得

若指数差（即1）用表示，则可得这样一个比尔吉对数的差分方程，比尔吉就是用这个差分方程计算出的对数表，比如先确定y=0时，x=1，那么就有

   为了防止小数的出现，比尔吉让每一个x值都乘以10⁸ ，同时，比尔吉所取算数级数的首项是0，公差是10.若将比尔吉、纳皮尔的对数值设为y,真数值设为x，比尔吉对数、真数间的表达式应该是,这与纳皮尔的表达式很相似，又，与自然常数e非常接近，所以比尔吉对数可近似表示为以e为底的对数，这就可以看出来，比尔吉对数与纳皮尔对数从表达式上来讲有着相同的本质，

（ 或 ）在移动小数点后，二者可得到相同的差分方程，此时，比尔吉对数的步长为0.0001，纳皮尔对数的步长为-0.0000001.可将两个表达式分别设为和.

将比尔吉与纳皮尔的对数对比可以看出，比尔吉的对数纯粹是通过代数运算解释和完成的，这与纳皮尔从几何（线段、射线）出发解释对数有很大差别.

受到上面差分方程的启发，从几何角度进行解释，可用和的方程代替差分方程，设

，以布尔吉方程为例进行说明，从1开始不等距增加，形成如下图所示一个个小矩形，使每个小矩形面积，即，如下图示，从左往右，小矩形的宽分别为，从左往右，小矩形高分别为

图3  比尔吉对数的几何解释

于是就有

成等比数列，各项分别为

小矩形的面积和

成等差数列，各项分别为.所以的对数，等量关系为

，，若将a视为e，

则.

若用介于的双曲线下面积代替矩形面积之和，便可得自然对数.

必须说明的是，比尔吉所处的时代，微积分还未发明，自然常数e也未确定，上面的推导只是表述了基本思想方法，还有很多不严密之处，直到解析几何、微积分成为普通工具，这一表达式才跨出决定性的一步.

参考文献：

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