1 引言

构造法是一种解决数学问题的方法，它通过构造出满足特定条件的对象或函数来推导出问题的解。在解导数和不等式问题时，构造法也可以起到很大的作用。构造法在解决数学问题时的优点在于它直观且易于理解。通过构造出满足特定条件的对象或函数，我们可以更好地理解问题的本质，并得到问题的解。

2 构造法概述

2.1 构造法基本原理

数学中的构造法是一种证明方法，用于构造对象或提供解决问题的策略。构造法强调通过具体的例子和对象来展示问题的解决方法。通过构造一个满足特定条件的具体对象，可以验证问题是否存在解决方案，或者为问题提供一个可行的解决方案。构造法常常使用归纳推理来构造对象。通过先构造一个基础情形的对象，然后逐步添加附加元素或进行操作，可以得到更一般的结论。这样的推理过程通常以数学归纳法的形式进行。在构造法中，经常采用贪婪策略来确定构造对象的步骤。贪婪策略是指在每一步选择当前看起来最优的选项，而不考虑未来可能出现的情况。通过一系列贪婪选择的组合，最终可以构造出满足特定条件的对象。有时候，在构造法中使用反证法来构造对象或证明问题的不存在性。通过假设所要证明的结论不成立，并导致与已知条件矛盾的结论，可以推断出所要证明的结论是正确的。构造法中常常利用划分和组合的策略来构造对象。将问题分解成更小的子问题，然后通过组合这些子问题的解决方法来获得整体的解决方案。这种方法有效地利用了问题的结构特点。

2.2 构造法在数学问题中的应用

构造法经常用于解决整数论证明问题。例如，证明存在无穷多个质数可以使用构造法。通过构造一个满足特定条件（如素数）的整数序列，可以证明质数的无穷性。在图论中，构造法通常用于构造具有特定性质的图结构。例如，证明存在某个大小的哈密顿回路或欧拉回路可以通过构造具有特定边集的图来实现。在几何学中，构造法可用于构造满足特定条件的几何对象。例如，通过构造特定的线段或角度，可以证明两个几何对象相等或平行。构造法在组合数学中也非常常见。例如，证明某个集合具有特定的排列组合性质，可以通过构造具有特定性质的排列组合来实现。构造法常用于递归定义和算法设计中。通过使用递归的构造方法，可以定义一系列对象并推导它们之间的关系。基于这种构造方法，可以设计出一些高效的算法来解决各种问题。总之，构造法在数学问题中的应用涵盖了各个领域，包括数论、图论、几何学、组合数学等。它为解决数学问题提供了一种直观而灵活的方法，通过构造具有特定性质的对象来展示问题的解决思路，并证明一些结论的存在性或可行性。

2.3 构造法解导数与不等式问题的潜在价值

构造法在解决导数和不等式问题中具有潜在的重要价值。构造法可以用来解决一些导数相关的问题，例如寻找函数的极值点或拐点。通过构造合适的函数形式，可以利用导数的性质来推导出函数的最大值、最小值或者取得特定斜率的位置等。构造法在解决不等式问题中也是非常有用的。通过构造一些具有特定性质的不等式，可以推导出其他更复杂的不等式。例如，通过构造辅助函数或引入合适的变量替换，可以将原始不等式转化为更简单的形式来进行分析和证明。构造法还可以用来证明某些命题的错误性。当我们面对一个陈述或者猜想，并且怀疑其是否成立时，可以通过构造一个反例来证明其错误性。这种构造方法可以帮助我们深入理解问题，并揭示问题的本质。

3 构造法解导数中不等式的案例分析

3.1 案例1:

当已知不等式中含有导函数时，多数情况下是给出了某个函数导数的正负情况，要能根据式子特点构造一个原函数，使其求导后形式与已知条件一致，一般来说出现两部分和的形式要尝试构造积的函数形式如xf(x)，若条件中出现了差的形式尝试构造商的函数形式如x(f(x))。

问题1：f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________________。

我们可以构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减。根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)。

问题2：设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________________________。

我们可以构造F(x)＝x(f(x))，则F′(x)＝x2(f′(x)·x－f(x))，当x<0时，xf′(x)－f(x)>0，可以推出当x<0时，F′(x)>0，F(x)在(－∞，0)上单调递增，∵f(x)为偶函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增，根据f(1)＝0可得F(1)＝0.根据函数图象(图略)可知f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)。

从上面的分析可以发现看出当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑x(f(x)).

3.2案例2   

在构造函数解不等式的过程中，若出现一些常系数，可以考虑原函数中可能有幂函数的形式，构造形如xn(f(x))的函数，因为（x^ａ）求导结果为ａｘ^（ａ-1），出现了常系数ａ。至于构造商的形式还是积的形式原则同案例1是一样的，另外特殊函数值的给出往往也是给出了原函数在其点处的函数值了，再结合其奇偶性就可得到问题的解答。

问题：已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________。

可以构造函数F(x)＝x2(f(x))，则F′(x)＝x3(f′(x)·x－2f(x))，当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝x2(f(x))为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增。根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)。

条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式构造形如xn(f(x))的函数；条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式构造函数xf(nx)，再根据函数的单调性奇偶性及其图像解决即可。

3.3案例3    若条件中含“f′(x)－f(x)”的形式 则构造形如ex(f(x))的函数，再根据函数的单调性奇偶性解决即可。

问题1：已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是(　　)

A.f(2 021)>e^{2 021}f(0)

B.f(2 021)<e^{2 021}f(0)

C.f(2 021)＝e^{2 021}f(0)

D.f(2 021)与e^{2 021}f(0)的大小关系无法确定

构造函数g(x)＝ex(f(x))，则g′(x)＝ex(f′(x)－f(x)).

∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，

即函数g(x)在R上单调递减，

∴g(2 021)<g(0)，∴e2 021(f(2 021))<e0(f(0))，

∴f(2 021)<e^{2 021}f(0).故选B.

问题2：定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x₁<x₂，则f(x₂)与f(x₁)的大小关系为(　　)

A.f(x₂)>f(x₁)

B.f(x₂)< f(x₁)

C.f(x₂)＝f(x₁)

D.f(x₂)与f(x₁)的大小关系不确定

解答：构造函数g(x)＝ex(f(x))，

则g′(x)＝(ex)2(f′(x)ex－f(x)ex)＝ex(f′(x)－f(x)).

由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增，

当x₁<x₂时，g(x₁)<g(x₂)，即 <，

所以f(x₂)> f(x₁)。

首先，需要明确各类函数的导函数，另外对函数的单调性和奇偶性也理解掌握，这样解决这类问题就可以游刃有余了。

3.4案例4

    若题设条件或所求结论中出现三角函数形式，如有含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式或其等价形式则构造形如sin x(f(x))的函数，再根据函数的单调性奇偶性解决即可。

问题：

已知定义在2(π)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tan x成立，则(　　)

A.f 4(π)>f 3(π)   B.f(1)<2f 6(π)sin 1

C.f 6(π)>f 4(π)   D.f 6(π)<f 3(π)

我们构造函数g(x)＝sin x(f(x))，

则g′(x)＝sin2x(f′(x)sin x－f(x)cos x)，

由已知可得，当x∈2(π)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，

∴g6(π)<g3(π)，即6(π)<3(π)，

∴f 6(π)<f 3(π).

在利用构造法解决导数中不等式问题，通过构造函数，再利用函数的单调性、图像、零点等性质，我们很容易得到结果。

4 结语

使用构造法可以快速找到问题的一个或多个特殊解，从而为问题的解答提供线索。通过构造具体的例子或模型，可以帮助我们理解问题的性质和规律，并且通过对特殊情况的分析，可以得到一般性的结论。总之，构造法在数学问题中的应用是一种有力的工具，能够帮助我们深入理解问题并寻找解决方案。它不仅能够培养我们的思维能力和创造力，还能够让我们更好地掌握数学知识。

参考文献:

[1] 王赟杰.通晓构造途径 尽显导数功能——不等式问题中“函数构造法”的应用[J].数学之友,2022,36(20):67-69.

[2] 郑姿姿.妙用构造法解答四类与导数有关的不等式问题[J].语数外学习(高中版下旬),2022(03):53-54.

[3] 王芳娜.利用构造法破解导数不等式问题[J].中学生数理化(高考数学),2019(03):28-29.