一、引言

化归思想是一种重要的数学思想和思维策略，其核心在于将复杂、陌生或抽象的问题转化为简单、熟悉或直观的问题来解决。在初中数学教学中，化归思想具有广泛的应用价值和实践意义^[1]。以“圆周角”的教学为例，圆周角是平面几何中的一个重要概念，其性质定理和推论是解决与圆相关问题的关键。然而，圆周角的概念较为抽象，定理的证明过程也相对复杂，对于初中生来说具有一定的学习难度。因此，在教学中引入化归思想，将圆周角的问题转化为更直观、更简单的问题来解决，显得尤为重要。教师可以引导学生通过分类讨论、构造辅助线等方法，将复杂的问题逐步分解为简单的问题，从而找到证明的思路和方法。这样的教学过程不仅有助于学生掌握圆周角的相关知识，更能培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、化归思想概述

（一）问题转化

化归思想通过一系列的逻辑推理和技巧性转化，变为简单、已知或易于处理的问题。这种转化过程并非简单的表面改变，而是深入问题本质，寻找问题的核心要素和关键联系，从而找到解决问题的突破口。在问题转化的过程中，化归思想要求教师能够识别并提取问题的核心特征，然后利用已有的知识体系和技能，设计并实施有效的转化策略^[2]。这种策略涉及对问题的重新表述、对已知条件的重新组合，对求解目标的重新设定。通过不断的尝试和调整，最终可以将原问题转化为一个或多个已经解决或易于解决的问题，从而找到问题的答案或解决方案。

（二）过程简化

化归思想是一种致力于将复杂问题简化的思维方式，其核心在于通过一系列的逻辑推理和技巧性转化，将原本繁琐、复杂或难以直接处理的问题，逐步简化为更直观、更简单或已知可解的形式。在实施过程简化时，化归思想要求我们识别并去除问题中的冗余信息，提炼出核心要素，同时利用已有的知识框架和方法论，设计出有效的简化策略。包括将大问题分解为小问题、将抽象问题具体化、将复杂问题模型化等。通过不断的迭代和优化，最终能够将原问题简化到一个易于处理或已知可解的程度，从而高效、准确地找到问题的解决方案。

（三）思维方法

化归思想是一种重要的思维方法，强调在面对复杂或未知的问题时，通过巧妙地转换视角和思路，将问题归结为更简单、更熟悉或已解决的形式。这种思维方法的核心在于寻找问题的本质特征和内在联系，利用已知的知识和经验，通过逻辑推理和创造性转化，将原问题逐步化简或转化为一个或多个更易处理的新问题。化归思想不仅要求我们具备扎实的专业知识和敏锐的洞察力，还需要我们具备灵活的思维方式和创新的解决问题的能力。通过不断地运用和实践，我们可以逐渐掌握这种思维方法，提高解决问题的效率和准确性，从而在各个领域取得更好的成果^[3]。

（四）知识整合

化归思想在知识整合中扮演着至关重要的角色。倡导将复杂多样的知识体系通过逻辑分析和创造性转化，归结为更加统一、简洁的核心概念或原理。这一过程中，化归思想不仅帮助我们识别不同知识点之间的内在联系，还促使我们运用已有的知识框架去理解和吸纳新知，实现知识的有效整合与深化。通过化归，零散的知识点被编织成一张紧密相连的知识网，提高了我们对知识的综合运用能力和创新能力^[4]。在快速变化的知识时代，掌握化归思想，灵活运用它进行知识整合，对于提升个人竞争力、促进学科交叉融合具有重要意义。

三、化归思想在初中数学中的应用原则

（一）简单化原则

化归思想简单化原则不仅强调通过已知的、基础的知识来解决未知的、复杂的问题，还要求学生在转化过程中保持思维的灵活性和创造性。简单化并非单纯地简化问题，而是通过寻找问题的内在联系，将其分解为若干个简单的子问题，或者通过类比、归纳等方法，将陌生问题转化为熟悉的问题。

例如，在解决几何问题时，可以通过添加辅助线或构造相似图形，将复杂的图形关系转化为简单的几何定理应用；在代数问题中，可以通过变量替换或因式分解，将复杂的方程转化为易于求解的形式。简单化原则的关键在于培养学生从复杂中提取简单、从混乱中寻找规律的能力，这不仅有助于提高解题效率，还能增强学生对数学本质的理解，使其在面对新问题时能够迅速找到突破口，从而实现知识的迁移与创新。

（二）熟悉化原则

熟悉化原则，强调将陌生或复杂的问题转化为学生熟悉的知识结构或解题模式，从而降低认知难度，提升解题效率。这一原则的核心在于通过类比、转化或重构，将新问题嵌入到已有的知识框架中，使学生能够借助已有的经验和方法快速找到解决问题的路径。例如，在解决几何问题时，通过将复杂的图形分解为基本图形，或将未知的几何关系转化为已知的代数关系，学生能够更直观地理解问题并找到解决方案^[5]。熟悉化原则不仅帮助学生建立知识之间的联系，还培养了他们的迁移能力，使其在面对新问题时能够灵活运用已有知识，实现从“未知”到“已知”的转化。

四、化归思想在初中数学中的应用设计——以“圆周角”教学为例

（一）学情分析

“圆周角”教学的主要内容是与“圆”有关的概念、性质、弧长、扇形面积的计算以及圆锥侧面积的计算。通过本章节的内容学习，学生能够对圆有一个初步的认识，可以为后续研究圆，解决与圆有关的其他知识奠定基础。

在进入本章学习之前，学生已经掌握了直线图形有关的性质，学会利用变换等方式，探究图形的性质，积累了一定的研究几何的经验。因此，在本章节的学习中，要充分考虑学生过去所学的知识，掌握的活动经验，对学生的操作活动、推理能力，进一步提升。

（二）教学目标与重难点

（1）教学目标

在新课标及转归思想的指导下，本章节的教学目标总结见下表1：

表1 “圆周角”教学目标总结

（2）教学重难点

本章节的教学重点为“圆周角定理”的推论。难点在于运用化归思想合情合理的推理论证圆周角的定理。

（三）教学设计

（1）从实际问题出发，将复杂问题简单化

师：“你喜欢看足球比赛吗？你有尝试过足球运动吗？你认为足球是一种什么运动？”

通过问题引导学生进行讨论，将数学问题生活化，让学生能够通过现实问题的思考延伸到数学问题上，提高对数学知识的理解和认识。通过本问题，教师可以通过足球场，引导学生进行学习，复习圆的基本性质，并衍生出圆周角的后续学习知识。

师：“足球比赛是一项团队协作比赛，需要团队之间配合默契。下面我们一起来看一个足球比赛简图（图1）。”

图1 教学示例图1

师：“在图1中，甲队员在圆心处，乙队员在C处，而丙队员在D处，丙队员带球，把球传给了乙队员，而乙队员又将球传给了甲队员。你知道为什么吗？”

通过问题引导学生思考圆的基本性质，通过观察简图，就可以知道，在图1中，存在两个圆周角，分别是∠ACB和∠ADB。而在足球比赛中，为了更好的提高足球的命中率，最好将足球传给甲队员，在圆心踢球，命中率会更高。

设计意图：通过这样生活化的研究，让学生将抽象的数学问题局限分析，抽离出传统的学习模式，将复杂的问题简单化，更好的理解圆周角概念的本质。

（2）从问题变化出发，将陌生问题熟悉化

通过上面的学习，学生已经基本掌握了圆周角的相关概念，但是上一个问题相对简单，教师可以将问题变化，让学生多接触陌生知识，学会将陌生知识熟悉化，让学生能够从熟悉的知识出发，解析陌生的问题，更好的掌握学习知识点。

师：“圆O见下图2，在圆O上给定了两个定点，分别是A点与B点，那么请找出，劣弧AB所对应的圆心角有几个？圆周角有几个？”

图2 教学示例图2

学生可以通过图形的学习，认识到圆中的元素，进一步了解圆周角、圆心角以及圆弧之间的关系，同时通过初步的感受和分析，了解圆周角这个图形的本质结构。

在学生基本掌握以后，教师可以进一步提出高阶问题，引导学生分组讨论分析。

师：“怎么样对一条弧所对的无数个圆周角进行分类？”

在提出问题以后，教师可以引导学生自主讨论分析，在经过讨论和分析以后，学生可以找到规律，比如，学生可以“按与圆心的关系分类，将同一条弧所对应的无数个圆周角分为三类，分别是‘圆心在圆周角的内部。’‘圆心在圆周角的边上。’‘圆形在圆周角的外部。’”

通过这样的问题设计探究，帮助学生更好的明确研究的对象，确定研究的思路，更好的简化研究的过程，为后续性质的进一步学习作铺垫。

师：“研究图形的性质关键就是研究组成图形之间元素之间的关系，那么在图2中，可以看到哪些元素？”

通过问题的引导，可以让学生进一步了解图形之间的元素，图形元素之间的关系。学生通过观察以后可以发现，图形中涉及圆弧AB、圆心角∠AOB以及若干个圆周角。紧接着，教师可以进一步分析问题，引导学生提出问题，通过问题的提出，将陌生的问题转化为熟悉的问题。示例见下表2：

表2 问题的提出延伸

在教学过程中，通过问题的延伸，引导学生将不熟悉的问题变成熟悉的问题，还可以借助“量角器”等工具，来验证自己的猜想，研究图形之间各元素之间的关系。通过这种研究思考，学生可以认识到圆周角与弧有关系，而弧与圆心角的对应关系是唯一的，由此将角与弧的关系问题转化为角与角的关系问题。引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本教学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实。

（3）从信息技术出发，将平面问题立体化

数学本身是一门逻辑科学，抽象性强，因此，在学习的过程中，教师可以引导学生从信息技术出发，借助信息技术手段，将平面的问题立体化。比如，在“圆周角”的学习中，教师可以借助计算机软件GGB验证结论，以图1为例，GGB的度量功能，量出∠AOB、∠BCA，拖动圆周角∠BCA的顶点C按顺时针方向在圆周上运动时，发现∠BCA的度数不发生变化，再采用计算机功能，计算∠BCA和∠AOB的比值，发现∠BCA：∠AOB=1：2。通过计算机的验证，可以验证出结论：“圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。”那么通过该问题，就可以总结到前面的探讨问题，为什么丙队员带球，把球传给了乙队员，而乙队员又将球传给了甲队员。因为在足球赛中，把球传给位于圆心位置的甲可以增大射门的角度。

五、总结

综上所述，在初中数学的学习中，化归思想是一种重要的解题思想，在初中数学中应用化归思想学生可以更高效的解决数学问题。教师要注重化归思想的应用，逐步引导学生掌握化归思想，更好的提升学生的数学学习思维能力。在不同的教学内容中，要应用不同的策略，有效应用化归思想，帮助学生掌握相关知识。

参考文献：

[1]段思华.化归思想在初中数学教学中的应用[J].课程教材教学研究（下半月）, 2024(6):39-41.

[2]娄凌翔.化归思想在初中数学"图形与几何"解题中的应用[J].数理天地(初中版), 2024(1):53-54.

[3]谭莉.转化与化归思想在初中数学中的应用[J].课堂内外(初中教研), 2023(8):46-48.

[4]唐丽.渗透"化归"思想的初中数学课堂教学实践[J].  2024(2):50-51.

[5]李福新.化归思想在初中数学教学中的应用探索[J].  2023(9):66-68.

作者简介：魏斌 1977.02 男 四川广安 汉族 大学本科 中学数学一级教师 广安市前锋区代市实验学校 研究方向:初中数学